ОРТОГОНАЛЬНЫЙ РЯД

ряд вида

где - ортонормированная система функций (онс) относительно меры :

Начиная с 18 в. при изучении различных вопросов математики, астрономии, механики и физики (движение планет, колебание струн, мембран и др.) в исследованиях Л. Эйлера (L. Euler), Д. Бернулли (D. Bernoulli), А. Лежандра (A. Legendre), П. Лапласа (Р. Laplace), Ф. Бесселя (F. Bessel) и др. эпизодически появляются нек-рые специальные онс и разложения функций по ним. Определяющее же влияние на становление теории О. р. оказали:

а) исследования Ж. Фурье (J. Fourier, 1807-22) (Фурье метод решения краевых задач уравнений математич. физики) и в связи с ними работы Ж. Штурма и Ж. Лиувилля (J. Sturm,. J. Liouville, 1837-41);

б) исследования П. Л. Чебышева по интерполированию и проблеме моментов (сер. 19 в.), повлекшие за собой создание им общей теории ортогональных многочленов;

в) исследования Д. Гильберта (D. Hilbert, нач. 20 в.) по интегральным уравнениям, где, в частности, были установлены общие теоремы о разложении функций в ряд по онс;

г) создание А. Лебегом (Н. Lebesgue) теории меры н интеграла Лебега, придавшие теории О. р. современный вид.

Активному развитию теории О. р. в 20 в. способствует применение онс функций и рядов по ним в самых разнообразных разделах науки (математич. физика, вычислительная математика, функциональный анализ, квантовая механика, математич. статистика, операционное исчисление, автоматич.регулирование и управление, различные технич. задачи и т. п.).

Характерные результаты и направления исследований в теории О. р.

1) Пусть - мера Лебега и {j_n} - онс. Тогда если , то числа

наз. коэффициентами Фурье, а ряд (1) с - рядом Фурье функции f по системе

Система замкнута относительно пространства L², если для любой функции и любого числа найдется полином

такой, что норма . Система полна относительно L², если из условий и a_n(f)=0 при всех следует, что f(x)=0 почти всюду, т. е. f - нулевой элемент пространства L²

Если для нек-рой функции выполняется равенство

(2)

то говорят, что функция f удовлетворяет условию замкнутости Ляпунова - Стеклова (или равенству Парсеваля). Это условие эквивалентно сходимости частных сумм ряда Фурье от f по норме пространства L² к функции f.

Аналогично даются определения замкнутости, полноты и условия замкнутости для более общих пространств и мер.

Одним из важнейших вопросов теории О. р. является вопрос однозначного определения функции по ее коэффициентам Фурье. Для пространств L² он самым тесным образом связан с выполнением равенства (2) для всех функций

Для случая тригонометрич. системы равенство (2) в 1805 было приведено (фактически без доказательства) М. Парсевалем (М. Parseval), а в 1828 Ф. Бессель установил, что

неравенство Бесселя). В 1896 А. М. Ляпунов доказал равенство (2) для интегрируемых по Риману функций, а потом П. Фату (P. Fatou) для случая

В. А. Стекловым (1898-1904) был поставлен вопрос о замкнутости общих онс и положительно решен для многих ортогональных систем (сферич. функции, собственные функции оператора Штурма - Лиувилля, системы ортогональных многочленов Эрмита, Лагерра, функции Ламе и др.).

Что касается неравенства (3), то оно оказалось справедливым для произвольных онс и функций

С 1907 Ф. Рисс (F. Biesz) и Э. Фишер (Е. Fischer) доказали, что для любой онс и любой последовательности чисел найдется функция , для к-рой и выполнено равенство (2). Из этой теоремы и неравенства Бесселя вытекает, что для любых онс полнота и замкнутость эквивалентны в пространстве L²;замкнутость в пространствах L^p с эквивалентна полноте в пространстве L^p', где (С. Банах, S. Banach, 1931).

Неравенство Бесселя и теорема Рисса - Фишера были распространены Г. Харди (G.'Hardy), Дж. Литлвудом (J. Littlewood) и Р. Пэли (R. Paley) на пространства L^p. Именно, пусть - онс, и . Тогда:

а) если , то

б) если дана последовательность с

то найдется функция , для к-рой и , где Азависит лишь от ри М.

2).Другой крупной проблемой теории О. р. является вопрос разложения функции в ряд по простым функциям, сходящийся к ней по норме того пли иного пространства. Система элементов из B-прост-ранства Енал. базисом (безусловным базисом), если каждый элемент единственным образом представляется в виде ряда

сходящегося (безусловно сходящегося) к f по норме пространства Е.

Если - базис в Е, то являются линейными непрерывными функционалами в пространстве Еи в случае с имеют вид

где - базис пространства

биортонормированная система (С. Банах). В частности, если , то есть - онс, то ортого-

нальный базис в L^p автоматически является базисом во всех пространствах L^r, где r- любое число между pи р'.

Исследования по указанной проблеме ведутся в двух направлениях:

а) по заданной онс находятся те пространства, в к-рых является базисом;

б) для заданного пространства Еотыскиваются в нем базисы или ортогональные базисы.

В обоих случаях исследуется взаимосвязь свойств функции f и ее разложения.

Что касается тригонометрич. системы, то она не является базисом пространства непрерывных функций С(П. Дюбуа-Реймон, P. Du Bois Reymond, 1876), но является базисом в пространствах L^p с (М. Рисc, М. Riesz, 1927). Результат П. Дюбуа-Реймона был распространенна любые ограниченные в совокупности онс.

Ортонормированная система многочленов Лежандра является базисом в пространствах L^p при и не является таковой в остальных пространствах L^q(1946-52, X. Поллард, H. Pollard, Дж. Нейман, J. Neumann, и В. Рудин, W. Rudin).

В 1910 была построена онс такая, что всякая непрерывная функция единственным образом раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье по этой системе (А. Хаар, А. Нааr). Однако система Хаара не является базисом пространства С(0,1), т. разрывны при . Проинтегрировав систему , Г. Фабер (G. Faber, 1910) установил, что система

является базисом в пространстве С(0,1) и тем самым был найден первый базис в пространстве непрерывных функций. Этот результат Г. Фабера был переоткрыт Ю. Шаудером (J. Schauder, 1927), к-рый указал также класс базисов пространства С(0,1) типа базиса ; в честь последнего и введен термин "базис Шаудера", хотя более справедливо было бы называть его "базис Фабера - Шаудера".

Построенные Г. Фабером и Ю. Шаудером базисы не являются ортогональными. Первый ортонормированный базис {F_n} в пространстве С (0,1) был найден Ф. Франклином (Ph. Franklin, 1928), к-рый проортогонализировал методом Шмидта систему Фабера - Шаудера {f_n} и получил {F_n}. На этом пути (ортогонализация и интегрирование) был введен и изучен новый класс базисов. Все ортонормированные базисы пространства С(0,1) автоматически являются базисами во всех пространствах L^p с

Система Хаара является безусловным базисом но всех пространствах L^p с (1931-37, Р. Пэли, Ю. Марцинкевич, J. Marcinkiewicz). Аналогичный результат имеет место и для системы {F_n} Франклина.

В пространствах Си Lвообще нет безусловных базисов. Точно также не существует нормированных и ограниченных в совокупности безусловных базисов и пространствах L^p при и

3) Большой цикл исследований проведен по проблеме сходимости почти всюду тригонометрических и ортогональных рядов.

В 1911 Н. Н. Лузин построил первый пример почти всюду расходящегося тригонометрич. ряда, коэффициенты к-рого стремятся к нулю. Такого типа ряд Фурье был построен А. Н. Колмогоровым (1923). Результат Н. Н. Лузина был распространен на произвольные полные онс, а результат А. Н. Колмогорова обобщен на множества положительной меры для ограниченных в совокупности онс.

Неотрицательная последовательность с и наз. множителем Вейля для сходимости почти всюду рядов по системе , если всякий ряд (1) сходится почти всюду на , как только

Если является множителем Вейля, то наз. системой сходимости почти всюду. Последовательность наз. точным множителем Вейля для сходимости почти всюду рядов (1), если - множитель Вейля, а всякая при уже не является таковой. Аналогично даются определения множителей Вейля для тех или иных видов сходимости и суммируемости (по мере, безусловная сходимость почти всюду и др.).

Множители Вейля были найдены для тех или иных систем. В 1913 М. Планшерель (М. Plancherel) доказал, что {log³n} является множителем Вейля для сходимости дочти всюду рядов по любым онс , в 1922 Д. Е. Меньшов и X. Радемахер (Н. Rademacher) установили, что в качестве множителя Вейля можно взять {log²n}. И что особенно важно, Д. Е. Меньшов доказал неусиляемость этого результата во всем классе онс, т. е. {log²n} является точным множителем Вейля для нек-рых онс.

Впоследствии были найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы была множителем Вейля для сходимости или (С,1)-суммируемости почти всюду (по мере и др.) О. р. Было показано, напр., что. система не является системой сходимости почти всюду. В 1975 была построена первая полная онс строгой сходимости, т. е. ряд (1) сходится почти всюду на X=[0,1] тогда и только тогда, когда

В 1927 установлено, что последовательность и w(n)=t(n) log²n является множителем Вейля для безусловной сходимости почти всюду любых О. р., если

Этот результат оказался неусиляемым.

В 1960 было показано, что система Хаара не является системой безусловной сходимости почти всюду. На основе этого результата было доказано, что многие системы (базисы в L² полные онс и др.) не являются системами безусловной сходимости почти всюду. Для системы последовательность лишь тогда является множителем Вейля для безусловной сходимости почти всюду, когда

Поэтому не всякая полная онс имеет точный множитель Вейля для безусловной сходимости почти всюду.

Много исследований было проведено по проблеме представления функций рядами, сходящимися почти всюду, по мере и др. Так, в 1957 было установлено, что для любой полной онс с и любой измеримой функции f(x).найдется ряд вида (1), к-рый сходится по мере к f(x).(для случая трнгонометрич. системы это утверждение было получено в 1947 Д. Е. Меньшовым). Этот результат теряет силу даже для случая конечных измеримых функций, если вместо сходимости по мере рассматривать сходимость почти всюду.

Лит.:[1] Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.-Л., 1951; [2] Банах С., Курс функцiонального аналiзу, К., 1948; 13) Геронимус Я. Л., Теория ортогональных многочленов, М.- Л., 1950; [4] Качмаж С., Штейпгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [5] Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; [6] Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; 17] Алексич Г., Проблемы сходимости ортогональных рядон, пер. с англ., М., 1963; [8] Тricomi F. G., Vorlesungen iiber Orthogonalreihen, 2 Aufl., В., 1970; [Я] О1evskii A. M., Fourier series with respect to general orthogonal systems, В., 1975; [10] Меньшов Д. Е., Ульянов П. Л., О метрической теории функций в Московском университете за пятидесятилетие, "Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика", 1967, № 5, с. 24-36; [11] Талалян А. А., Представление измеримых функций рядами, "Успехи матем. наук", 1960, т. 15, в. 5, с. 77-141; [12] Ульянов П. Л., Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных рядов, там же, 1964, т. 19, в. 1, с. 3- 69; [13] Итоги науки. Математический анализ. 1970, М., 1971, с. о-264; [14] Бурбаки Н., Очерки по истории математики, пер. с франц., М., 1963; [15] ПаплаускасА. Б., Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега, М., 1966.

П. Л. Ульянов.